人教版九年级上册数学第22章--二次函数

人教版数学九年级上册时间：22.1.1二次函数11/13/2023第1课时学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.能根据实际问题列二次函数表达式.（难点）素养目标喷泉喷出的水珠在空中走过一条曲线,这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?这些都将在新的一章中学习.视频引入1.什么是函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0(a≠0)复习巩固问题1正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为.y=6x2此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.二次函数的相关概念一探究归纳新知探究问题2n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个球队n要与其他个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为.(n−1)()112mnn=-解：21122mnn=-此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.问题3某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是t，再经过一年后的产量是t，即两年后的产量y=________.20(1+x)20(1+x)220(1+x)2答：y=20x2+40x+20；此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的y=6x2想一想21122mnn=-y=20x2+40x+20二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c为常数，且a≠0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结例1下列函数中哪些是二次函数?为什么？(x是自变量)①y=ax2+bx+c②y=3−2x²③y=x2④⑤y=x²+x³+25⑥y=(x+3)²−x²21yx=不一定是，缺少a≠0的条件.不是，等式右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.方法归纳例2若函数是二次函数，求m的值.431122xmxmymm)()(∴m=3.解：由题意得：221210.mmmì--=ïí+¹ïî，本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视.归纳典例精析针对训练一个二次函数.234(1)21kkykxx-+=-+-（1）求k的值；（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得234210kkkì-+=ïí-¹ïî，，解得=2.k将x=0.5代入函数关系式，得221yxx=+-20.520.510.25.y=+´-=（2）当k=2时，221yxx=+-根据实际问题列二次函数关系式二问题矩形绿地的长为xm，面积为ym2.（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为____m，y与x之间的关系式为__________.（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y与x之间的关系式为___________.想一想自变量的取值范围是___________.想一想自变量的取值范围是___________.0.5xy=0.5x2x＞0(x−6)y=x(x−6)x＞6例3如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.解：∵AB边长为x米，1221152xx-+∴y＝(30－x)x=.12∴AD边长为(30－x)米.(0＜x＜30)在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.注意例4某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.∴y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]，解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了5(x－1)件．即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).当堂练习2.函数y=(m−n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A.m，n是常数，且m≠0B.m，n是常数，且n≠0C.m，n是常数，且m≠nD.m，n为任何实数C1.下列函数是二次函数的是()A．y＝2x＋1B．C．y＝3x2＋1D．2yx211yxC4.已知函数y=3x2m-1－5.①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.1323.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____，一次项系数为______，常数项为.−3x2−16125.若函数是二次函数，232(4)aayaxa--=-+（1）求a的值；（2）求函数关系式；（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得232240aaaì--=ïí-¹ïî，，解得=1.a（2）当a=−1时，函数关系式为.22(14)151yxx=---=--（3）将x=−2代入函数关系式中，有25(2)121.y=-´--=-6.写出下列各函数关系式：（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．24πxy=（x＞0）211(26)13(026).22Sxxxxx=-=-+<<7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.（不必写出自变量x的取值范围）解：(1)当销售单价为每千克55元时，由题意，得月销售量=500−(55−50)×10=450（kg）单件销售利润=55−40=15（元）月销售利润=450×15=6750（元）(2)当销售单价为每千克x元时，由题意，得月销售量=500−(x−50)×10单件销售利润=x−40月销售利润y=[500−(x−50)×10](x−40)整理，得y=-10x2+1400x−400008.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时，求矩形的面积.解：（1）y＝(8−x)x＝−x2＋8x(0＜x＜8)；（2）当x＝3时，y＝−32＋8×3＝15(cm2).课堂小结二次函数定义y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的最高次数是2；二次项系数a≠0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a,b,c是常数).