2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线

几何综合题（添加辅助线）1.熟练运用所学的几何学知识解决各种数学问题和生活实际问题。2.培养学生优化思想，深入自己的学习生活中。3.通过学习活动，培养学生学数学用数学的意识和创新精神，提高学生自主获取知识和概括知识的能力。【重点】熟练掌握几何学知识及其应用。【难点】能用所学的数学知识解决各种数学问题和实际问题。教学目标：教学重难点：几何综合题主要有运算型的综合与逻辑推理型的综合.从压轴题的角度来看，这类题目要么图形关系很复杂，要么条件与结论之间的关系比较隐蔽。完整的破解，需要准确分析已知条件，善于挖掘隐含条件，看懂图形的结构或明白图形的生成过程，能借助辅助线补全或构建基本图形.初中几何学知识脉络梳理例题如图1,ABC△和△OEF都是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,BHDE⊥于点H,交AC于点G.求证：AG+CF=2BD图1问题1：题干中的两个等边三角形的组合形成了什么样的基本图形？如图2，等边△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，构成了全等的基本图形—"一线三等角"，容易证明△ADFBEDCFE≌△≌△，所以图形中隐含着两组等线段：AD=BE=CF，AF=BD=CE，这是整个问题生成的平台，而能否识别出这些基本的数量关系，既是基本功的体现，同时也给解题打下了坚实的基础.【分析】问题2：待证结论AG＋CF=2BD与上述两个等边三角形之间有没有特殊的关系？如图3，等边三角形的性质告诉我们，若顶点F是AC边的中点，则点G与点F重合，此时待证结论AG＋CF=2BD显然成立，而这正是打开思路的突破口.例题如图1,△ABC和△OEF都是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,BH⊥DE于点H,交AC于点G.求证：AG+CF=2BD【分析】问题3：BH⊥DE于点H，交AC于点G，如何理解并运用这个条件？已知"BH⊥DE于点H，交AC于点G"与问题2的假设"若CF=BD＋FG"之间有什么关系？或者说如何能让CF=BD＋FG呢？经验告诉我们这时只能请辅助线帮忙实现了：如图5，在CF上截取CP=BD，则问题2的假设进一步转化为证明FP=FG，即证明点F为GP的中点.这时候不得不考虑点G的生成过程了，为此再作FQ⊥DE于点Q（如图6），则点Q是DE的中点（对证明点F为GP中点的呼应），且FQBG∥（如何利用已知的BG这条垂线是难点，辅助线算作迈出的一大步）.那如何由中点Q得出中点F呢？如图7，根据平行线分线段成比例的特殊情况，若点Q恰好是线段BP的中点，那么F一定是GP的中点，看来问题最后集中为：B，Q，P三点是否共线且Q是BP的中点？如图8，有了上面的想法，问题基本上水到渠成了，最后只需再连接PD，PE，易证四边形DBEP是平行四边形，Q是对角线DE的中点，必然也是对角线BP的中点，从而结论成立.图5例题如图1,△ABC和△OEF都是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,BH⊥DE于点H,交AC于点G.求证：AG+CF=2BD【分析】问题4：与点G的位置有关吗？如图9，若点G位于线段CF上，根据同样的思路与方法也能证明结论成立，所以与点G在AC边上的位置无关，也就是说这样的两个等边三角形的图形组合总能形成如上结论，因此证明过程就以图1为准.图9证明：如图10，在CF上截取CP=BD，连接PD，PE，PB，作FQDE⊥于点Q.∵△ABC与△DEF是等边三角形，∴∠ABC=DEF=C=60°∠∠，AB=BC，DE=EF.∵∠DEF＋∠CEF=ABC∠十∠BDE，∴∠BDE=CEF.∠∴△BDECEF≌△（证明全等要严格按照书本上的格式书写），∴BD=CE，则AD=BE.同理，可证AD=BE=CF，AF=BD=CE.【解答】：∵CP=BD=CE，∴△PCE是等边三角形，∴∠PEC=60°=∠ABC，PE=PC，∴PE//BD，PE=BD，∴四边形BEPD是平行四边形.又∵△DEF是等边三角形，且FQ⊥DE，∴Q是DE的中点.从而在平行四边形BEPD中，Q是BP的中点.∵BG⊥DE于点H，∴FQ//BG.在△PBG中，Q是BP的中点，FQ//BG，∴F是PG的中点，即PF=FG.∴AG+CF=(AF-FG)＋(CP+PF)=AF+CP=2BD经验分享：4=b0=16-b2=0=4+bxx21=5bxx25bx，士，解得中，△＋即方程有两两个相等的实数根＋＋，由题由题意得，＋＋4=b0=16-b2=0=4+bxx21=5bxx25bx，士，解得中，△＋即方程有两两个相等的实数根＋＋，由题由题意得，＋＋（1）这道题目围绕特殊三角形与特殊四边形的相关知识，借助1条垂线巧妙地设计了一个思路比较隐蔽的问题，题目的证明过程并不是很复杂，但是如何获得、理顺证明思路就成了难点，希望同学们多琢磨.（2）通过这道题让我们又一次见识到，辅助线的添加来源于对几何基本图形与性质的灵活掌握，来源于解题经验的积累4=b0=16-b2=0=4+bxx21=5bxx25bx，士，解得中，△＋即方程有两两个相等的实数根＋＋，由题由题意得，＋4=b0=16-b2=0=4+bxx21=5bxx25bx，士，解得中，△＋即方程有两两个相等的实数根＋＋，由题由题意得，＋试炼场：1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；【分析】②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；③证明△ABD为等腰三角形即可判断；④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断试炼场：1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【详解】①由旋转的性质可知：AC=BC=AE=DE=4，AB=AD=4∴∵∠DAE=∠CAB=45°∴∠DAE+∠EAB=∠CAB+∠EAB即∠BAD=∠CAE∴△ABD～△ACE故①正确②设CE，AB相交于点F，如图：由①△ABD∽△ACE，可得∠ABD=∠ACE，又∠BFO=∠CFA∴∠BOC=∠CFA=45°故②正确③∵∠BOC=∠CAB=45°,∴A、B.C.O四点共圆，则∠BOA=∠BCA=90°即AO⊥BD故③正确④设O到AC的距离为h∵AC=4，以AC为底边，当h最大时候，△AOC面积的才最∵BC⊥AC，当D点到AC的距离最大时即当AD⊥AC时，h最大，即当旋转角度45°时，过O作OG⊥AC于点G，如右图，由②可知∠COD=135°由③可知AO⊥BD，∴∠AOC=45°∵AB=AD,BAD=45°∠∴∠ABD=(180°-45°)=67.5°由①可知△ABDACE∽△∴∠ACE=ABD=67.5°∠∴∠OAC=180°-OCA-∠AOC=67.5°∠∴OA=OC在RtBDE△中，BE=AB-AE=4-4，DE=4∴BD==4在RtAOD△中，同理可求AO=2在RtOCG△中,同理可求OG=+2∴=AC·OG=故④不正确综上所述：①②③正确，共计3个故选CC试炼场：2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DEAC⊥，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN=，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；（2）连接OM，先求出MG=，得出OG=OM，最后用勾股定理求解，即可得出结论；（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成BC=，连接AD，再求出CD=，再判断出△DEC∽△ADC，得出比例式求解，即可得出结论【分析】试炼场：2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DEAC⊥，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN=，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长【详解】∴∠OBD=ODB∠∵DE⊥AC∴∠EDC+C=90°∠∵AB=AC∴∠ABC=C∠∴∠ODB=C∠∴∠EDC+ODB=90∠°∴∠ODE=90°∴OD⊥DE∴OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线方法二:连OD∴∠ODB=ACB∠∴ODAC∥∵DEAC⊥∴DEOD⊥∴OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线方法三：连接OD∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB∵AB=AC∴∠ABC=ACB∠方法二：连接AM、MB∵AB是⊙O的直径∴∠AMB=90°∵MN⊥AB∴∠AMG+∠MAG=∠AMG+∠BMG=90°∴∠MAG=∠BMG∴=∴MG²=AG·BG∵∴∵AO=BO=AB∴G为OA中点∵MNAB⊥，MN=∴MG=∵MG²=AG·BG∴AG=∴AO=1即⊙O的半径为1∴AG=OG=OM在Rt△MGO中∴OG²+MG²=(OM)²+()²=OM²∴OM=1即⊙O的半径为1（2）解：方法一：连接OM，∵MN⊥AB∴∠OGM=90°∵AB是直径MN=∴MG=NG=∵∴（1）证明：方法一：连接AD,OD∵AB为直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∵AB=AC∴D为BC中点∵O为AB中点∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线试炼场：2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DEAC⊥，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN=，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长(3)作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD∵∠BNC=36°，AB=AC∴∠ABC=ACB=72°∠∵BF平分∠ABC∴∠ABF=CBP=36°∠∴∠BFC=72°即∠BAF=ABF∠、∠BFC=ACB∠∴BC=BF=AF∵∠CBF=BAC,C=C∠∠∠∴△CBF∽CAB△∴BC²=CF·AC设BC=x则AF=x∴CF=2-x【详解】∴BC=∴AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵AB=AC∴CD=BD=BC∴CD=∵DEAC,ADBC⊥⊥∴△CDE∽CAD△∴CD²=CE·AC∴CE=试炼场：3.如图，A.ABC内接于CO，D是弧BC的中点，OD交BC于点H，且OH=DH，连接AD，过点B作BELAD于点E，连接EH，BFLAC于M，BF交图0与点F，若AC=5，EH=，则AF=（）A.B.C.D.【分析】延长BE交AC的延长线于点N，连接OB，OC，BD，先证明AB=AN，可得AB=8，再证明∠BOD=∠DOC=60°，可得∠BAC=∠BOC=60°，从而得到∠ABM=30°，在Rt△AMB中，可求出AM=AB=4，BM=4,再证明△AMF∽BMC△，即可求解解：如图，延长BE交AC的延长线于点N，连接OB、OC，BD.∵D是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAN,OD⊥BC∵BE⊥AD∴∠AEB=∠AEN=90°∴∠ABE+∠BAE=90°,∠N+∠EAN=90°,∵∠ABE=∠N.【详解】∴AB=AN.∴BE=EN∵ODBC⊥∴BH=CH∴CN=2EH=3.∴AB=AN=AC+CN=8∵OH=HD,BHOD.⊥OB=BD∴∵OB=OD∠DOC=BOD=60°∠∴∠BOC=2BOD=120°∠∴∠BAC=BOC=60°∠∵BFAC⊥∴∠ABM=30°在RtAMB△中,AM=AB=4，∴BM=4∵CM=AN-AM-CN=8-4-3=1.在RtBMC△中，BC=∵∠MAF=MBC,AMF=BMC,∠∠∠∴△AMF∽△BMC∴即得AF=故选：AAN挑战自我1.如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2,点C落在点C'处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A’处，折痕是FG.若原正方形纸片的边长为6cm,则FG=cm解：作GM⊥AC'于M，A'N⊥AD于N，AA'交EC'于K.易知MG=AB=AC'，(如右图)∵GF⊥AA',∴∠AFG+∠FAK=90°,∠MGF+∠MFG=90°,∴∠MGF=∠KAC,∴△AKC’≌△GFM,∴GF=AK∵AN=4.5cm,A'N=1.5cm,C'KA'N∥,∴∴∴C'K=1.5cm，在Rt△ACK中，AK=cm∴FG=AK=cm√10挑战自我2.如图，已知△ABC内接于⊙O,AB是直径，点D在⊙O上，OD//BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD,交OE于点F.（1）求证:△DOE∽△ABC；（2）求证:∠ODF=∠BDE；（3）连接OC,设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求sinA（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DEO=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；【分析】（3）根据△DOE∽△ABC求出S△ABC==4S△DOE=4S1，求出S△BOC=2S1，求出BE=OE，解直角三角形求出即可【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB∴∠DEO=90°．∵∠DEO=∠ACB,∵OD//BC.∴∠DOE=∠ABC.∴△DOE∽△ABC.（2）证明：∵△DOE∽△ABC∴∠ODE=∠A,∵∠A与∠BDC都是弧BC所对的圆周角∴∠A=BDC∠∴∠ODE=BDC∠（3）解：∵△DOE∽△ABC，∴即S△ABC=4S△DOE=4S1∵OA=OB∴S△BOC=S△ABC，即S△BOC=2S1∵=S△BOC++=2S1+S1+S1,∴BE=OE，即OE=OB=OD∴sinA=sinODE==∠挑战自我3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,F,E分别是线段AC,BC上的点，且四边形PEFD为矩形.（1）若△PCD为等腰三角形，求AP的长（2）若AP=，求CF的长.（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；【分析】【详解】（2）先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=OFC∠，∠OCP=OPC∠，最后判断出△ADP∽CDF△，得出比例式即可得出结论.（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC=要使△PCD是等腰三角形，分三种情况讨论：①当CP=CD时，AP=AC-CP=10-6=4；②当PD=PC时，∠PDC=PCD∠，∵∠PCD+PAD=PDC+PDA∠∠∠=90°∴PD=PA,∴PA=PC，∴AP=AC=5;③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ∵AD·DC=AC·DQ∴DQ==∴CQ==∴PC=2CQ=∴AP=AC-PC=10-=∴若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°,OE=OD,∴OC=ED,在矩形PEFD中，PF=DE，∴∠PAD=PDA∠，∴OC=PF∵OP=OF=PF∴OC=OP=OF，∴∠OCF=OFC∠，∠OCP=OPC,∠∵∠OPC+OFC+PCF=180°,∠∠∴2OCP+2OCF∠∠=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+FCD∠=90°，在RtADC△中，∠PCD+PAD∠=90°，∴∠PAD=FCD∠∴△ADP∽CDF△，∴∵AP=∴CF=QO添加辅助线的方法目录/1.按定义添2.按基本图形添的规律3.基本图形的辅助线的画法PART01按定义添按定义添如：证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添关心线。....................................................PART02按基本图形添的规律按基本图形添的规律(1)平行线是个基本图形(2)等腰三角形是个简洁的基本图形(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形(4)直角三角形斜边上中线基本图形(5)三角形中位线是基本图形(6)全等三角形按基本图形添的规律(7)相似三角形1(8)特殊角直角三角形2(9)半圆上的圆周角3(1)平行线是个基本图形当几何中出现平行线时添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的等第三条直线按基本图形添的规律(2)等腰三角形是个简洁的基本图形当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完好等腰三角形。按基本图形添的规律出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;按基本图形添的规律出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。按基本图形添的规律出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。(5)三角形中位线是基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，按基本图形添的规律当有中位线三角形不完好时则需补完好三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。(6)全等三角形全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;假如出现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形；或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明。按基本图形添的规律添加方法：是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;按基本图形添的规律当出现相比线段重叠在始终线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。(8)特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加按基本图形添的规律特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：;30度角直角三角形三边比为1：2：进行证明(9)半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;按基本图形添的规律出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;PART03基本图形的辅助线的画法基本图形的辅助线的画法三角形问题01平行四边形问题02梯形问题03圆问题04方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，利用全等三角形的学问解决问题。基本图形的辅助线的画法三角形问题方法3：结论是两线段相等的题目常画关心线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常接受截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。基本图形的辅助线的画法(1)连对角线或平移对角线；0101(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线0303(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等0505(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形0202(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。0404平行四边形问题基本图形的辅助线的画法梯形问题(2)梯形外平移一腰(4)延长两腰(6)平移对角线(1)在梯形内部平移一腰。(3)梯形内平移两腰(5)过梯形上底的两端点向下底作高基本图形的辅助线的画法梯形问题(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。(9)作中位线基本图形的辅助线的画法圆问题(1)见弦作弦心距(2)见直径作圆周角（3)见切线作半径(5)两圆相交作公共弦(4)两圆相切作公切线再见ByeBye