第21届华罗庚金杯少年数学邀请赛初二组初赛试卷(含答案)

('第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初二组）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）222221．已知a\uf02bb\uf03d\uf0205，则a\uf02dab\uf02bb\uf02bab\uf02bab等于（）。a\uf02bab\uf02bbA.5B.【答案】A【解析】52C.2D.25a2\uf02da2b2\uf02bb2\uf02b2aba2\uf02bb2\uf02b2ab\uf02ba2b\uf02bab2\uf02bab\uf03da\uf02bab\uf02bba\uf02bab\uf02bb\uf03d(a\uf02b\uf020b)(a\uf02b\uf020ab\uf02b\uf020b)\uf03da\uf02bb\uf03d\uf0205a\uf02bab\uf02bb2．如右图，已知AE\uf03dDE\uf03d5,AB\uf03dCD,BC\uf03d4，\uf0d0E\uf03d60o，BCAD\uf0d0A\uf03d\uf0d0D\uf03d90o，那么五边形ABCDE的面积是（）EA.62B.63C.72D.73【答案】D【解析】连接BE、EC，延长BC交EA延长线和ED于F,G。过E作EH\uf05eBC于H。由题意得\uf044ABE\uf040\uf044DCE，所以EH平分\uf0d0FEG，所以\uf044FEG是等腰三角形，又因为\uf0d0AED\uf03d60，所以\uf044FEG为等边三角形。所以AF\uf03dDG。设AF\uf03dDG\uf03dx，则FB\uf03dGC\uf03d2x，此时有4\uf02b4x\uf03d5\uf02bx得到x\uf03d13。代入可得面积为(5\uf02b1)(5\uf02b1)3\uf02d2\uf0d71\uf0d7133333\uf03d73FBHCGADE6\uf0ec[x]\uf02b2y\uf03d13．已知方程组：\uf0ed\uf0ee[y]\uf02bx\uf03d2，其中[x],[y]分别表示不大于x,y的最大整数，则该方程组的解有（）个。A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由第二个式子可知x是整数，由第一个式子可知y的小数部分y\uf02d[y]为0或者1。2两式相减化简得到y\uf02b(y\uf02d[y])\uf03d\uf02d1，所以y\uf03d\uf02d1,\uf02d3代入验证后均符合题意，故此2方程组有2组解4．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动：单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件。那么单价是（）元时，此次促销活动的预期获利最大。A.15B.16C.17D.18【答案】C【解析】设服装降价x元，此时可卖出100\uf02b20x，此时服装的利润为(19\uf02dx\uf02d10)(100\uf02b20x)\uf03d\uf02d20x2\uf02b80x\uf02b900\uf03d\uf02d20(x\uf02d2)2\uf02b980故x\uf03d2时利润最大，此时单价是17元5．如下图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花。韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序。A.8B.12C.16D.20【答案】D【解析】韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且不同的排列对应不同的搬花的顺序。所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同。故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有C3\uf03d20。16．已知x\uf02b\uf020\uf02dx5\uf03d0，则x16\uf02d46x8\uf02d6x4\uf02d3x2\uf03d（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由x\uf02b1\uf02dx5\uf03d0，可得x\uf02b1\uf03dx5，x2\uf02b1x2\uf03d3，x4\uf02b1x4\uf03d7，x8\uf02b1x8\uf03d47化简得x4\uf02d3x2\uf03d\uf02d1，x8\uf02d7x4\uf03d\uf02d1，x16\uf02d47x8\uf03d\uf02d1所以x16\uf02d46x8\uf02d6x4\uf02d3x2\uf03dx16\uf02d47x8\uf02bx8\uf02d7x4\uf02bx4\uf02d3x2\uf03d\uf02d1\uf02b\uf02d1\uf02b\uf02d1\uf03d3二、填空题（每小题10分，共40分）ADE7．如右图，ABCD是长方形，AB\uf03d1,BC\uf03d2，\uf0d0EBC\uf03d15o，E在AD的延长线上，则CE等于。【答案】2【解析】15°BC在AE上去一点K使得BK\uf03d2，连接BK，则\uf0d0AKB\uf03d30，所以\uf0d0KBE\uf03d\uf0d0CBE\uf03d15，所以\uf0d0KBE\uf03d\uf0d0KEB\uf03d15，于是有EK\uf03dBK\uf03d2，所以四边形KBCE为平行四边形，所以CE\uf03dBK\uf03d2。AKDEBC8．如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示，主流甲和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水速度也相DCA乙等。已知AC\uf03dCD，船从A处经C开往B处需用6小时，B从B经C到D需用8小时，从D经C到B需用5小时，则船从B经C到A，再从A经C到D需用小时。【答案】1213【解析】设AC\uf03dCD\uf03da，CB\uf03db，静水速度为v，水流速度为s。由题意得a\uf02b\uf020b\uf03d6v\uf02dsv\uf02bsa\uf02b\uf020b\uf03d8v\uf02dsv\uf02dsa\uf02b\uf020b\uf03d5v\uf02bsv\uf02bs由后两个式子可以得到1\uf03d8，1\uf03d5代入第一个式子化简得到b\uf03d2av\uf02dsa\uf02bbv\uf02bsa\uf02bb船从B经C到A，再从A经C到D需用时：b\uf02ba\uf02b2a\uf03d(2a\uf02bb)8\uf02ba5\uf03d21a\uf02b\uf0208bv\uf02dsv\uf02bsv\uf02dsa\uf02bba\uf02bba\uf02bb将b\uf03d2a代入得到21a\uf02b\uf0208b\uf03d21a\uf02b16a\uf03d37\uf03d121a\uf02bba\uf02b2a339．如右图，三角形ABC中，BD平分\uf0d0ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于。【答案】25【解析】延长AD交BC与E，由于BD是\uf044ABE的BE边上的高和角平分线。所以AD\uf03dDE。所以S\uf044ACD\uf03dS\uf044CDE\uf03d20，S\uf044ABD\uf03dS\uf044BDE，所以S\uf044ABD\uf03dS\uf044BDE\uf03dS\uf044BDC\uf02dS\uf044CDE\uf03d45\uf02d20\uf03d25ADBEC10．已知A,B,C,D,E代表1至9中不同的数字，ABCD\uf02bEEE\uf03d2015，则ABCDEEE\uf02b的最大值等于。【答案】961926【解析】首先，和一定时，差越小积越大，所以EEE越大，乘积越大。验证E\uf03d9,8,7时均无解，而当E\uf03d7时，ABCD\uf03d1238，EEE\uf03d777，此时符合题意且积最大，此时积为1238\uf0b4777\uf03d961926',)