2022-2023学年湘教版数学九年级上册同步多媒体教学-第4章-解直角三角形

第四章锐角三角函数4.3解直角三角形学习目标1.了解并掌握解直角三角形的概念；2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.(重点)3.学会解直角三角形.(难点)ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.c290°bc复习引入acab已知两边解直角三角形一在图中的Rt△ABC中，(1)根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？sinsin6sin75BCABCABAABcoscos6cos75ACAACABAAB9090907515.ABBAABC6合作探究75°(2)根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB9090906624ABBAABC62.4在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.60A，90906030BA，222.ABACABC26解：6tan32BCAAC，典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，，解这个直角三角形.6BC2在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，根据条件解直角三角形.解：根据勾股定理222230201013cab，303tan1.5202aAb，56.3.A∴909056.333.7.BA∴ABCb=20a=30c练一练已知一边及一锐角解直角三角形二例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b,c.BCAacb30°tan,bBa解：90=9030=60.BA∠∠tan5tan6053.baBsin,aAc510.sinsin30acA1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c=14.根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：sin,bBcsin14sin7213.3.bcB907218.Acos,aBccos14cos724.33.acB练一练2.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．提示：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的长，从而求解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D解：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，12,2CDAC∴=3cos423.2ADACA=∴BD=CD=2.222.cosBCDCB∠223.ABADBD∴已知一锐角三角函数值解直角三角形三例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.13ACB解：190cos3CA，，1.3ACAB设1,3ABxACx，222ABACBC，22215.3xxACB12152152,.44xx（舍去）∴AB的长为152.41.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的值为()A．4B．6C．8D．1035D2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是()A．10B．2045C练一练2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是()A．10B．20C．40D．2845C图①例4在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.12222解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，22当△ABC为钝角三角形时，如图①，=122=45ABB∵，∠，==cos12.ADBDABB∴∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的长为7或17.C2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是()43A.4B.4C.83D.43D1.在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是()A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosA3.在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为.45243.755.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.43AD解：63cos243ACCADAD，30CAD，∵AD平分∠BAC，6030CABB，，1263.ABBC，DABC643解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC226.326.tan3ADB解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数谢谢观看