2022-2023学年湘教版数学九年级上册同步多媒体教学-第4章-正弦和余弦第1课时

第四章锐角三角函数4.1正弦和余弦学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点)为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？情境引入30°正弦的概念一从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC30°35m?合作探究ABC30°35m如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.即可得AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备70m长的水管.12BCAB，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.归纳：12任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ABCA'B'C'BCABB'C'A'B'因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABCRt∽△A'B'C'.所以这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．ABBCA'B'B'C'BCB'C'ABA'B'如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA即例如，当∠A＝30°时，我们有；2130sinsinAABCcab对边斜边归纳：∠A的对边斜边sinA=.ac例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.ABC53典例精析解：(1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5，于是3sin5BCAAB，因此于是AC=4.(2)B∠的对边是AC，根据勾股定理，得AC2=AB2-BC2=52-32=164sin5ACAAB，sinA=()BCABsinA=()BCAC1.判断对错A10m6mBC√×练一练sinB=()BCAB×sinA=0.6m()×sinB=0.8m()√2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C1100例2如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：如图，设点A(3，0)，连接PA.A(0，3)在△APO中，由勾股定理得2222345.OPOAAP因此4sin.5APOPα方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.abba22aab22bab练一练D正弦的简单应用二例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.1sin3AABC提示：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出BC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.解：∵∴1sin3A，13BCAB，∴AB=3BC=3×3=9.2222=9362.ACABBC∴∴6222sin.93ACBAB∴11=623=92.22ABCSACBC△在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=ak，AC=ahk，归纳：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长为()D35A.4B.6C.8D.102.在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=___.132练一练例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．725解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得22222524.ACABBCBCx即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值()A.扩大2倍B.不变C.缩小D.无法确定B122.如图，sinA的值为()7ACB330°A.B.C.D.123732C21073.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A=，∠B=.2245°45°4.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为.1010解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝20182210.1020ACAB5.如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面积.D55CBA45解：作BD⊥AC于点D，∵sinA=，454sin545BDABA，∴2222543.ADABBD又∵△ABC为等腰△，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.(1)sinB可以由哪两条线段之比表示?ACBD解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴sinsin.ACCDADBACDABBCAC∠(2)若AC=5，CD=3，求sinB的值.解：由题(1)知2222534.ADACCD4sinsin.5ADBACDAC∠正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=谢谢观看