专题提升(九)-以全等为背景的计算与证明

首页课件目录末页第二部分图形与几何第七章三角形专题提升(九)以全等为背景的计算与证明(人教版八上P44习题第11题)如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB＝DE，AC＝DF.首页课件目录末页证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E.∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∵FB＝CE，∴BC＝EF.∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE，AC＝DF.首页课件目录末页【思想方法】(1)证明两条线段相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据．首页课件目录末页1．[2019·山西]已知，如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F，求证：BC＝DF.证明：∵AD＝BE，∴AD－BD＝BE－BD，即AB＝DE.∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.首页课件目录末页在△ABC和△EDF中，∠C＝∠F，∠A＝∠E，AB＝ED，∴△ABC≌△EDF(AAS)，∴BC＝DF.首页课件目录末页2．[2018·铜仁]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB.证明：∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD.又∵AE＝BF，CE＝DF，∴△ACE≌△BDF(SSS)．∴∠A＝∠B.∴AE∥FB.首页课件目录末页3．[2019·南充]如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.(1)求证：△AOD≌△OBC；(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．首页课件目录末页(1)证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，AO＝OB，∠AOD＝∠OBC，OD＝BC.∴△AOD≌△OBC(SAS)．首页课件目录末页(2)解：∵△AOD≌△OBC，∠ADO＝35°，∴∠OCB＝35°.∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.首页课件目录末页4.[2019·温州]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．首页课件目录末页(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．首页课件目录末页(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，易证△ABD≌△ACD(SAS)，∴AC＝AB＝3.首页课件目录末页5．[2019·孝感]如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD.求证：AE＝BE.证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，AC＝BD，AB＝BA，∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．∴∠ABC＝∠BAD.∴AE＝BE.首页课件目录末页6．[2019·南京]如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF.首页课件目录末页证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE.∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝CE.∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF(ASA)．首页课件目录末页7．[2017·温州]如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．首页课件目录末页(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，即∠BCA＝∠EDA.在△ABC和△AED中，BC＝ED，∠BCA＝∠EDA，AC＝AD，∴△ABC≌△AED(SAS)．首页课件目录末页(2)解：由△ABC≌△AED，∠B＝140°，得∠E＝∠B＝140°.∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.首页课件目录末页8．[2019·桂林]如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．求证：(1)AC平分∠BAD；(2)BE＝DE.首页课件目录末页证明：(1)在△ABC与△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD.首页课件目录末页(2)由(1)得∠BAE＝∠DAE，∴在△BAE与△DAE中，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE.首页课件目录末页如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．首页课件目录末页(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE与Rt△CBF中，AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．首页课件目录末页(2)解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.